Question

14．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，-4），點(diǎn)B（-2，0），點(diǎn)C（4，0）．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)M在y軸上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（0，-4），點(diǎn)B（-2，0），點(diǎn)C（4，0）代入拋物線解析式，組成方程組，即可解答；
（2）取OA的中點(diǎn)，記為點(diǎn)N，證明∠OMB=∠NBA，分兩種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方時(shí)，記為M₁，因?yàn)椤螧AN=∠M₁AB，∠NBA=∠OM₁B，所以△ABN∽△AM₁B，求出AM₁=10，又根據(jù)A（0，-4），所以M₁（0，6）．
②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方時(shí)，記為M₂，點(diǎn)M₁與點(diǎn)M₂關(guān)于x軸對(duì)稱，所以M₂（0，-6）．

解答 （1）解：∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，-4），點(diǎn)B（-2，0），點(diǎn)C（4，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴這個(gè)拋物線的解析式為：$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-4$，頂點(diǎn)為$（1，-\frac{9}{2}）$．
（2）如圖：取OA的中點(diǎn)，記為點(diǎn)N，

∵OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴∠ACB=45°，
∵點(diǎn)N是OA的中點(diǎn)，
∴ON=2，
又∵OB=2，
∴OB=ON，
又∵∠BON=90°，
∴∠ONB=45°，
∴∠ACB=∠ONB，
∵∠OMB+∠OAB=∠ACB，
∠NBA+∠OAB=∠ONB，
∴∠OMB=∠NBA；
①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方時(shí)，記為M₁，
∵∠BAN=∠M₁AB，∠NBA=∠OM₁B，
∴△ABN∽△AM₁B
∴$\frac{AN}{AB}=\frac{AB}{A{M}_{1}}$，
又∵AN=2，AB=2$\sqrt{5}$，
∴AM₁=10，
 又∵A（0，-4）
∴M₁（0，6）．
②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方時(shí)，記為M₂，
點(diǎn)M₁與點(diǎn)M₂關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴M₂（0，-6），
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，6）或（0，-6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)，該函數(shù)綜合題的難度較大，（2）題注意分類討論，通過(guò)構(gòu)建相似三角形是打開思路的關(guān)鍵所在．