Question

1．課題學(xué)習(xí)：我們知道二次函數(shù)的圖象是拋物線，它也可以這樣定義：如果一個動點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)A（0，m）（m＞0）的距離與它到定直線y=-m的距離相等，那么動點(diǎn)M形成的圖形就是拋物線y=ax²（a＞0）的圖象，如圖所示．
（1）探究：當(dāng)x≠0時，a與m有何數(shù)量關(guān)系？
（2）應(yīng)用：已知動點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)A（0，4）的距離與到定直線y=-4的距離相等，請寫出動點(diǎn)M形成的拋物線的解析式．
（3）拓展：根據(jù)拋物線的平移變換，拋物線y=$\frac{1}{4}$（x-1）²+2的圖象可以看作到定點(diǎn)A（1，3）的距離與它到定直線y=1的距離相等的動點(diǎn)M（x，y）所形成的圖形．
（4）若點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，8），在（2）中求得的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PA+PD最短？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義，MA=MB，列出等式，即可解決問題．
（2）利用（1）的結(jié)論，直接寫出結(jié)果．
（3）根據(jù)定義，利用（1）的結(jié)論可以解決問題．
（4）如圖所示，過點(diǎn)D作直線y=-4的垂線垂足為M，與拋物線的交點(diǎn)就是的點(diǎn)P，此時PA+PD=PD+PM最短，求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）由定義可知，MA=MB，
∴x²+（y-m）²=（y+m）²，
∵y=ax²，
∴x²=$\frac{y}{a}$，
∴$\frac{y}{a}$=4my，
∴a=$\frac{1}{4m}$．

（2）由（1）可知，a=$\frac{1}{16}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{16}$x²．

（3）∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，2），a=1，
∴拋物線y=$\frac{1}{4}$（x-1）²+2的圖象可以看作到定點(diǎn)A（1，3）的距離與它到定直線y=1的距離相等的動點(diǎn)M（x，y）所形成的圖形．
故答案為1，3，1．

（4）如圖所示，過點(diǎn)D作直線y=-4的垂線垂足為M，與拋物線的交點(diǎn)就是的點(diǎn)P，此時PA+PD=PD+PM最短（垂線段最短），

此時點(diǎn)P坐標(biāo)（1，$\frac{1}{16}$）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的綜合題、解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用新的結(jié)論解決問題，屬于中考創(chuàng)新題目．