Question

20．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點(diǎn)，且OE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AD
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若tan∠F=$\frac{1}{2}$，⊙O半徑為1，求線段AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OC．根據(jù)垂徑定理得到AE=CE，根據(jù)全等三角形和切線的性質(zhì)得到∠OCD=∠OAD=90°，于是得到結(jié)論；
（2）設(shè)AD=x，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到FC=2，在Rt△ADF中，同理可得，F(xiàn)O=2x-1，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OC．
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴DC=DA，
在△OCD與△OAD中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=DA}\\{OC=OA}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OAD，
∵FD切⊙O于D，
∴∠OCD=∠OAD=90°，
∴AD是⊙O的切線；

（2）設(shè)AD=x，
∵tan∠F=$\frac{1}{2}$，OC=1，
∴在Rt△OCF中，$\frac{OC}{FC}$=$\frac{1}{2}$，
∴FC=2，
在Rt△ADF中，同理可得，F(xiàn)O=2x-1，
∴在Rt△OCF中，
FO²=FC²+CO²，
∴（2x-1）²=5，解得x₁=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，x₂=$\frac{-\sqrt{5}+1}{2}$（舍去），
即 AD=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．