Question

11．如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，若AC=FC．
（1）求證：AC是⊙O的切線(xiàn)：
（2）若BF=17，DF=13，求⊙O的半徑r．

Answer 1

分析 （1）連接OA、OD，如圖，根據(jù)垂徑定理得OD⊥BC，則∠D+∠OFD=90°，再由AC=AF，OA=OD得到∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，加上∠CFA=∠OFD，所以∠OAD+∠CAF=90°，則OA⊥AC，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得到AC是⊙O切線(xiàn)；
（2）先表示出OD=r，OF=17-r，再在Rt△DOF中利用勾股定理得r²+（17-r）²=13²，然后解方程即可得到r的值．

解答 （1）證明：連接OA、OD，如圖，
∵D為弧BE的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，
∴∠DOF=90°，
∴∠D+∠OFD=90°，
∵AC=AF，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，
而∠CFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O切線(xiàn)；
（2）解：OD=r，OF=17-r，
在Rt△DOF中，r²+（17-r）²=13²，
解得r=5（舍去），r=12；
即⊙O的半徑r為12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了垂徑定理．