Question

1．如圖，從?ABCD頂點C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F，求證：AB•AE+AD•AF=AC²．

Answer 1

分析 作BM⊥AC于點M，于是得到∠AMB=∠AEC=90°，推出△ABM∽△ACE，根據(jù)相似三角形的性質得到AB•AE=AM•AC，根據(jù)平行四邊形的性質得到AD∥BC，AD=BC，∠BCM=∠CAF，推出△BCM∽△CAF，根據(jù)相似三角形的性質得到BC•AF=CM•AC，于是得到AB•AE+BC•AF=AM•AC+CM•AC=AC（AM+CM）=AC²．即可得到結論．

解答 證明：作BM⊥AC于點M，
則∠AMB=∠AEC=90°，
∵∠BAM=∠CAE，
∴△ABM∽△ACE，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AE}$
即AB•AE=AM•AC，
∵?ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠BCM=∠CAF，
∴∠CMB=∠AFC，
∴△BCM∽△CAF，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CM}{AF}$，
∴BC•AF=CM•AC，
∴AB•AE+BC•AF=AM•AC+CM•AC=AC（AM+CM）=AC²．
∵AD=BC，
∴AB•AE+AD•AF=AC²．

點評 本題考查了平行四邊形的性質和相似三角形的判定和性質，正確做出輔助線是解題的關鍵．