Question

18．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，等腰Rt△OAB的頂點(diǎn)B在第一象限，直角邊OA在y軸上，點(diǎn)P是邊AB上的一個(gè)三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交斜邊OB于點(diǎn)Q，△AOQ的面積為3，則k的值為2$\sqrt{3}$或2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥y軸于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可設(shè)點(diǎn)B（a，a）、點(diǎn)Q（b，b），則點(diǎn)P為（$\frac{1}{3}$a，$\frac{1}{3}$a）或（$\frac{2}{3}$a，a），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合△AOQ的面積為3，即可求出b²的值，進(jìn)而即可得出k值．

解答 解：過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥y軸于點(diǎn)D，如圖所示．
∵△OAB為等腰直角三角形，QD⊥y軸，
∴△DDQ為等腰三角形，
∴設(shè)點(diǎn)B（a，a），點(diǎn)Q（b，b）（a＞0，b＞0），則點(diǎn)P為（$\frac{1}{3}$a，$\frac{1}{3}$a）或（$\frac{2}{3}$a，a）．
∵點(diǎn)P、Q在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=$\frac{1}{3}$a²=b²或k=$\frac{2}{3}$a²=b²，
∴a=$\sqrt{3}$b或a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$b．
又∵S_△OAQ=$\frac{1}{2}$ab=3，
∴b²=2$\sqrt{3}$或b²=2$\sqrt{6}$，
∴k=2$\sqrt{3}$或2$\sqrt{6}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$或2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等腰直角三角形，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合△AOQ的面積為3，求出b²的值是解題的關(guān)鍵．