Question

11．已知拋物線y=x²-2mx+4m-8的頂點為A．

（1）求證：該拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）當m=1時，直線BC：y=kx-2與該拋物線交于B，C兩點，若線段BC被x軸平分，求k的值；
（3）以A為一個頂點作該拋物線的內(nèi)接正三角形AMN（M，N兩點在拋物線上），請問：△AMN的面積是與m無關(guān)的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根的判別式的符號進行證明；
（2）把m=1代入函數(shù)解析式得到該拋物線的解析式．由直線方程和拋物線方程得到x²-2x-4=kx-2，利用線段BC的中點的縱坐標是0，結(jié)合韋達定理可以求得k的值；
（3）在拋物線內(nèi)作出正三角形，求出正三角形的邊長，然后計算三角形的面積，得到△AMN的面積是m無關(guān)的定值．

解答 （1）證明：△=4m²-4（4m-8）=4（m-2）²+16＞0，則該拋物線與x軸總有兩個交點；

（2）解：當m=1時，y=x²-2x-4．
∵拋物線y=x²-2x-4與直線y=kx-2交于B、C兩點，
∴x²-2x-4=kx-2，
整理，得x²-（2+k）x-2=0，
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=2+k．
∵x軸平分線段PQ，
∴線段BC的中點的縱坐標是0，即$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{k{x}_{1}-2+k{x}_{2}-2}{2}$=$\frac{2+k}{2}$，
∴$\frac{k（2+k）-4}{2}$=$\frac{2+k}{2}$，
解得 k=-1±$\sqrt{5}$．
即k的值是：-1±$\sqrt{5}$．

（3）解：根據(jù)拋物線和正三角形的對稱性，可知MN⊥y軸，設拋物線的對稱軸與MN交于點B，則AB=$\sqrt{3}$BM．
設M（a，b），
∴BM=a-m（m＜a）．
又AB=y_B-y_A=b-（4m-8-m²）=a²-2ma+4m-8-（4m-8-m²）=（a-m）²，
∴（a-m）²=$\sqrt{3}$（a-m），
∴a-m=$\sqrt{3}$，
∴BM=$\sqrt{3}$，AB=3，
∴S_△AMN=2×$\frac{1}{2}$AB•BM=2×$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$定值．

點評 本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點問題、根的判別式、對稱軸與不等式、二次函數(shù)的平移、正三角形的性質(zhì)等知識，綜合性強，思維含量高，需要同學們加強練習，方能正確解答．