Question

6．已知△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，方程cx²+bx-a=0是關(guān)于x的一元二次方程．
（1）判斷方程cx²+bx-a=0的根的情況為②（填序號）；
①方程有兩個相等的實數(shù)根；  
②方程有兩個不相等的實數(shù)根；
③方程無實數(shù)根；            
④無法判斷
（2）如圖，若△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O，直徑BD⊥AC于點E，且∠D=30°，求方程cx²+bx-a=0的根；
（3）若x=$\frac{1}{4}$a是方程cx²+bx-a=0的一個根，△ABC的三邊a、b、c的長均為整數(shù)，試求a、b、c的值．

Answer 1

分析 （1）先計算判別式的值得到△=b²+4a•c，由于a、b、c為三角形的邊長，則△＞0，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況；
（2）連接OA，如圖，根據(jù)垂徑定理，由BD⊥AC得到，弧AB=弧CB，弧AD=弧CD，再利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到AB=CB，利用圓周角定理得到∠ABD=∠DAC=60°，則可判斷△OAB為等邊三角形，得到AB=OB=2，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=$\sqrt{3}$，所以AC=2AE=2$\sqrt{3}$，即a=2，b=2$\sqrt{3}$，c=2，然后利用求根公式法解方程2x²+2$\sqrt{3}$x-2=0；
（3）根據(jù)一元二次方程根的定義，把x=$\frac{1}{4}$a代入cx²+bx-a=0后變形得到$\frac{ac}{4}$=4-b，易得b＜4，利用a、b、c的長均為整數(shù)得到b=1，2，3，然后分類討論：當(dāng)b=1時，ac=12，；當(dāng)b=2時，ac=8；當(dāng)b=3時，ac=4，再利用整數(shù)的整除性求出a、c的值，然后利用三角形三邊的關(guān)系確定滿足條件的a、b、c的值．

解答 解：（1）△=b²-4a•（-c）=b²+4a•c，
∵a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，即a、b、c都是正數(shù)，
∴△＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；
故答案為：②；
（2）連接OA，如圖，
∵BD⊥AC，∠D=30°，
∴弧AB=弧CB，弧AD=弧CD，∠DAC=60°，
∴AB=CB，∠ABD=∠DAC=60°，
∴△OAB為等邊三角形，
∴AB=OB=2，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=$\sqrt{3}$，
∴AC=2AE=2$\sqrt{3}$，
即a=2，b=2$\sqrt{3}$，c=2，
方程cx²+bx-a=0變形為2x²+2$\sqrt{3}$x-2=0，
整理得方${x}^{2}+\sqrt{3}x$-1=0，
解得：${x}_{1}=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2}$，${x}_{2}=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2}$．
（3）把x=$\frac{1}{4}$a代入cx²+bx-a=0得$c•\frac{1}{16}{a}^{2}+b•\frac{1}{4}a-a$=0，
整理得$\frac{ac}{4}$=4-b，則4-b＞0，
即b＜4，
∵a、b、c的長均為整數(shù)，
∴b=1，2，3，
當(dāng)b=1時，ac=12，則a=1，c=12；a=2，c=6；a=3，c=4；a=6，c=2；a=12，c=1，都不符合三角形三邊的關(guān)系，舍去；
當(dāng)b=2時，ac=8，則a=1，c=8；a=2，c=4；a=4，c=2；a=8，c=1，都不符合三角形三邊的關(guān)系，舍去；
當(dāng)b=3時，ac=4，則a=1，c=4；a=2，c=2；a=4，c=1，其中a=2，c=2符合三角形三邊的關(guān)系，
∴a=2，b=3，c=2．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定、圓周角定理和等邊三角形的判定與性質(zhì)；會運用根的判別式判斷一元二次方程根的情況和解一元二次方程；理解一元二次方程解的意義和三角形三邊的關(guān)系．