Question

4．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，BC=10cm，AD=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形；
（2）是否存在某一時(shí)刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)t=2時(shí)，DH=AH=2，則點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，由EF⊥AD，得到EF為AD的垂直平分線，于是得到AE=DE，AF=DF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，由于EF∥BC，于是得到∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，等量代換得到∠AEF=∠AFE，得到AE=AF，于是得到結(jié)論；
（2）分三種情況：①點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，如圖1，此時(shí)PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t，由PE∥AD，得到$\frac{PE}{AD}=\frac{BP}{BD}$，即$\frac{2t}{8}=\frac{3t}{5}$，此比例式不成立，故此情況不存在；②點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，如圖2，此時(shí)PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t，CP=10-3t，由PF∥AD，得到$\frac{PF}{AD}=\frac{CP}{CD}$，即$\frac{2t}{8}=\frac{10-3t}{5}$求得結(jié)果；③點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，如圖3，過E作EM⊥BC于M，過F作FN⊥BC于N，則EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD，得到$\frac{EM}{AD}=\frac{BM}{BD}$，即$\frac{2t}{8}=\frac{BM}{5}$，求得BM=$\frac{5}{4}t$，PM=BP-BM=3t-$\frac{5}{4}$t=$\frac{7}{4}$t，在R_t△EMP中，由勾股定理得到PE²=$\frac{113}{16}$t²由于FN∥AD，于是得到$\frac{FN}{AD}=\frac{CN}{CD}$，即$\frac{2t}{8}=\frac{CN}{5}$，得到CN=$\frac{5}{4}$t，在R_t△FNP中，在R_t△PEF中，由勾股定理得即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：當(dāng)t=2時(shí)，DH=AH=4，則點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，
∵EF⊥AD，
∴EF為AD的垂直平分線，
∴AE=DE，AF=DF，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四邊形AEDF為菱形；

（2）解：存在，理由：
①點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，如圖1，
此時(shí)PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t，
∵PE∥AD，
∴$\frac{PE}{AD}=\frac{BP}{BD}$，即$\frac{2t}{8}=\frac{3t}{5}$，
∵t＞0，故此情況不存在；
②點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，如圖2，
此時(shí)PF∥AD，PE=DH=2t，BP=3t，CP=10-3t，
∵PF∥AD，
∴$\frac{PF}{AD}=\frac{CP}{CD}$，即$\frac{2t}{8}=\frac{10-3t}{5}$，
解得：t=$\frac{40}{17}$，
③點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，
如圖3，過E作EM⊥BC于M，過F作FN⊥BC于N，則EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD，
∴$\frac{EM}{AD}=\frac{BM}{BD}$，即$\frac{2t}{8}=\frac{BM}{5}$，
解得：BM=$\frac{5}{4}t$，
∴PM=BP-BM=3t-$\frac{5}{4}$t=$\frac{7}{4}$t，
在R_t△EMP中，由勾股定理得：PE²=EM²+PM²=（2t）²+（$\frac{7}{4}$t）²=$\frac{113}{16}$t²，
∵FN∥AD，
∴$\frac{FN}{AD}=\frac{CN}{CD}$，即$\frac{2t}{8}=\frac{CN}{5}$，
解得：CN=$\frac{5}{4}$t，
∴PN=BC-BP-CN=10-$\frac{17}{4}$t，
在R_t△FNP中，由勾股定理得：PF²=FN²+PN²=（2t）²+（10-$\frac{17}{4}$t）²=$\frac{353}{16}$t²-85t+100，
在R_t△PEF中，由勾股定理得：EF²=PE²+PF²即：（10-$\frac{5}{2}$t）²=（$\frac{113}{16}$t²）+（$\frac{353}{16}$t²-85t+100），
解得：t=$\frac{280}{183}$，t=0（舍去），
綜上所述：當(dāng)t=$\frac{40}{17}$秒，或t=$\frac{280}{183}$秒時(shí)，△PEF為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．