Question

2．如圖1，已知拋物線y=ax²-2ax-3a交x軸于A、B兩點（點B在點A右邊），交y軸負半軸于點C．
（1）求直線BC的解析式（用含a的式子表示；
（2）點P在第四象限的拋物線上，且S_△PBC最大值為$\frac{27}{16}$，求a的值；
（3）如圖2，點M在y軸正半軸上，過M作EF∥BC交拋物線于E、F兩點，點F在點E的右側，求$\frac{BC}{MF-ME}$的值．

Answer 1

分析 （1）先求出B、C兩點坐標，利用待定系數法即可解決問題．
（2）如圖1中，設P（m，am²-2am-3a）．構建二次函數，利用二次函數的性質，列出方程即可解決問題．
（3）如圖2中，作EH⊥y軸于H，FG⊥EH交EH的延長線于G．不妨設直線EF的解析式為y=ax+b，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+b}\\{y=a{x}^{2}-2ax-3a}\end{array}\right.$消去y得到ax²-3ax-3a-b=0，推出x₁+x₂=-$\frac{-3a}{a}$=3，推出HG-EH=3，由HM∥GF，推出$\frac{MF}{ME}$=$\frac{HG}{HE}$，推出$\frac{MF+ME}{MF-ME}$=$\frac{HG+EG}{HG-HE}$，推出$\frac{EF}{EG}$=$\frac{MF-ME}{HG-EH}$，由△OBC∽△GEF，推出$\frac{OB}{EG}$=$\frac{BC}{EF}$，推出$\frac{EF}{EG}$=$\frac{BC}{OB}$，推出$\frac{BC}{OB}$=$\frac{MF-ME}{HG-EH}$，推出$\frac{BC}{MF-ME}$=$\frac{OB}{HG-EH}$=$\frac{3}{3}$=1．

解答 解：（1）對于拋物線y=ax²-2ax-3a，令y=0，則有ax²-2ax-3a=0，解得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0），
令x=0，得到y(tǒng)=-3a，
∴C（0，-3a），
設直線BC的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=-3a}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=a}\\{b=-3a}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=ax-3a．

（2）如圖1中，設P（m，am²-2am-3a）．

∵S_△PBC=S_△POC+S_△POB-S_△BCO=$\frac{1}{2}$×3×（-am²+2am+3a）+$\frac{1}{2}$×3a×m-$\frac{1}{2}$×3×3a
=-$\frac{3}{2}$am²+$\frac{3}{2}$am，
由題意，$\frac{-（\frac{3}{2}\\;a）^{2}}{4（-\frac{3}{2}a）}$=$\frac{27}{16}$，
解得a=$\frac{9}{2}$．

（3）如圖2中，作EH⊥y軸于H，FG⊥EH交EH的延長線于G．

∵直線BC的解析式為y=ax-3a，EF∥BC，
不妨設直線EF的解析式為y=ax+b，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+b}\\{y=a{x}^{2}-2ax-3a}\end{array}\right.$消去y得到ax²-3ax-3a-b=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{-3a}{a}$=3，
∴HG-EH=3，
∵HM∥GF，
∴$\frac{MF}{ME}$=$\frac{HG}{HE}$，
∴$\frac{MF+ME}{MF-ME}$=$\frac{HG+EG}{HG-HE}$，
∴$\frac{EF}{EG}$=$\frac{MF-ME}{HG-EH}$，
易證△OBC∽△GEF，
∴$\frac{OB}{EG}$=$\frac{BC}{EF}$，
∴$\frac{EF}{EG}$=$\frac{BC}{OB}$，
∴$\frac{BC}{OB}$=$\frac{MF-ME}{HG-EH}$，
∴$\frac{BC}{MF-ME}$=$\frac{OB}{HG-EH}$=$\frac{3}{3}$=1．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、最值問題、相似三角形的判定和性質、一元二次方程的根與系數的關系，比例的性質等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數，利用二次函數的性質解決最值問題，學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．