Question

3．如圖，矩形AOBC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），動(dòng)點(diǎn)F在邊BC上（不與B、C重合），過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象與邊AC交于點(diǎn)E，直線EF分別與y軸和x軸相交于點(diǎn)D和G，給出下列命題：
①若k=4，則△OEF的面積為$\frac{16}{3}$；
②若k=$\frac{21}{8}$，則點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上；
③滿足題設(shè)的k的取值范圍是0＜k≤12；
④若DE•EG=$\frac{25}{6}$，則k=2．
其中正確的命題的序號(hào)是①②④（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析 （1）若k=4，則計(jì)算S_△OEF=$\frac{16}{3}$≠$\frac{8}{3}$，故命題①錯(cuò)誤；
（2）如答圖所示，若k=$\frac{21}{8}$，可證明直線EF是線段CN的垂直平分線，故命題②正確；
（3）因?yàn)辄c(diǎn)F不經(jīng)過點(diǎn)C（4，3），所以k≠12，故命題③錯(cuò)誤；
（4）求出直線EF的解析式，得到點(diǎn)D、G的坐標(biāo)，然后求出線段DE、EG的長(zhǎng)度；利用算式DE•EG=$\frac{25}{6}$，求出k=2，故命題④正確．

解答 解：命題①正確．理由如下：
∵k=4，
∴E（$\frac{4}{3}$，3），F(xiàn)（4，1），
∴CE=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，CF=3-1=2．
∴S_△OEF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△CEF
=S_矩形AOBC-$\frac{1}{2}$OA•AE-$\frac{1}{2}$OB•BF-$\frac{1}{2}$CE•CF
=4×3-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2}$×4×1-$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×2=12-2-2-$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$，
故命題①正確；
命題②正確．理由如下：
∵k=$\frac{21}{8}$，
∴E（$\frac{7}{8}$，3），F(xiàn)（4，$\frac{21}{32}$），
∴CE=4-$\frac{7}{8}$=$\frac{25}{8}$，CF=3-$\frac{21}{32}$=$\frac{75}{32}$．
如答圖，過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，則EM=3，OM=$\frac{7}{8}$；
在線段BM上取一點(diǎn)N，使得EN=CE=$\frac{25}{8}$，連接NF．
在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN=$\sqrt{{EN}^{2}-{EM}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{8}）^{2}-{3}^{2}}$=$\frac{7}{8}$，
∴BN=OB-OM-MN=4-$\frac{7}{8}$-$\frac{7}{8}$=$\frac{9}{4}$．
在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF=$\sqrt{{BN}^{2}-{BF}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{9}{4}）^{2}+（\frac{21}{32}）^{2}}$=$\frac{75}{32}$．
∴NF=CF，
又∵EN=CE，
∴直線EF為線段CN的垂直平分線，即點(diǎn)N與點(diǎn)C關(guān)于直線EF對(duì)稱，
故命題②正確；
命題③錯(cuò)誤．理由如下：
由題意，點(diǎn)F與點(diǎn)C（4，3）不重合，所以k≠4×3=12，故命題③錯(cuò)誤；
命題④正確．理由如下：
為簡(jiǎn)化計(jì)算，不妨設(shè)k=12m，則E（4m，3），F(xiàn)（4，3m）．
設(shè)直線EF的解析式為y=ax+b，則有$\left\{\begin{array}{l}4ma+b=3\\ 4a+b=3m\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{4}\\ b=3m+3\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+3m+3．
令x=0，得y=3m+3，
∴D（0，3m+3）；
令y=0，得x=4m+4，
∴G（4m+4，0）．
如答圖，過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，則OM=AE=4m，EM=3．
在Rt△ADE中，AD=OD-OA=3m，AE=4m，由勾股定理得：DE=5m；
在Rt△MEG中，MG=OG-OM=（4m+4）-4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5．
∴DE•EG=5m×5=25m=$\frac{25}{6}$，解得m=$\frac{1}{6}$，
∴k=12m=2，故命題④正確．
綜上所述，正確的命題是：①②④，
故答案為①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)k的幾何意義、待定系數(shù)法、矩形及勾股定理等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度．本題計(jì)算量較大，解題過程中注意認(rèn)真計(jì)算．