Question

14．如圖所示，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AE是∠A的平分線，CD⊥AE于點D，求證：CD=$\frac{1}{2}$AE．

Answer 1

分析 延長CD交AB的延長線于F，由ASA證明△ACD≌△AFD，得出CD=DF=$\frac{1}{2}$CF，再由ASA證明△BCF≌△BAE，得出CF=AE，即可得出結論．

解答 證明：延長CD交AB的延長線于F，如圖所示：
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
∵AE是∠A的平分線，
∴∠CAD=∠FAD，
在△ACD和△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠ADF}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\\{∠CAD=∠FAD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AFD（ASA），
∴CD=DF=$\frac{1}{2}$CF，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=90°，
∴∠F+∠BCF=90°，
∵∠F+∠BAE=90°，
∴∠BCF=∠BAE，
在△BCF和△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠ABE=90°}&{\;}\\{BC=BA}&{\;}\\{∠BCF=∠BAE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△BAE（ASA），
∴CF=AE，
∴CD=$\frac{1}{2}$AE．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、角的平分線；熟練掌握等腰直角三角形的性質，并能進行推理論證是解決問題的關鍵．