Question

16．如圖，點A（1，6）和動點M（m，n）都在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，直線AM交X軸與點C，交Y軸于點D．

（1）k的值為6；
（2）當m＞1時，請判斷AD與CM的數(shù)量關(guān)系；并說明理由；
（3）當m＜0時，過點M作MP⊥x軸，垂足為P，過點A作AB⊥y軸，垂足為B，試判斷直線BP與直線AM的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點A的坐標代入y=$\frac{k}{x}$，即可求出k的值；
（2）m＞1時，點M在點A的右側(cè)，寫出直線AM的解析式，用含有m的代數(shù)式表示出點C和點D的坐標，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出DA、MC，進而得解；
（3）m＜0時，點M在第三象限，分別表示出OP、OC、OB、OD的長度，進而得解．

解答 解：（1）將點A（1，6）的坐標代入y=$\frac{k}{x}$，得：k=6；
（2）m＞1時，點M在點A的右側(cè)，
點M（m，$\frac{6}{m}$），
設(shè)直線AM的解析式為：y=ax+b，將A（1，6），（m，$\frac{6}{m}$）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+b=6}\\{ma+b=\frac{6}{m}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{6}{m}}\\{b=6+\frac{6}{m}}\end{array}\right.$，
∴y=$-\frac{6}{m}$x+6+$\frac{6}{m}$，
當x=0時，y=$6+\frac{6}{m}$，∴D（0，$6+\frac{6}{m}$），
當y=0時，x=m+1，∴C（m+1，0），
過A作AE⊥y軸，則AE∥x軸，AE=1，
∴$\frac{AE}{OC}$=$\frac{DA}{DC}$，即：$\frac{1}{m+1}$=$\frac{DA}{DC}$，∴DA=$\frac{DC}{m+1}$，
過M作MF⊥x軸，則MF∥y軸，MF=$\frac{6}{m}$，
∴$\frac{MF}{OD}$=$\frac{MC}{DC}$，即：$\frac{\frac{6}{m}}{6+\frac{6}{m}}$=$\frac{MC}{DC}$，∴MC=$\frac{DC}{m+1}$，
∴DA=MC，；
（3）BP∥AM．
m＜0時，點M在第三象限，
OP=-m，OC=-（m+1），OB=6，OD=6+$\frac{6}{m}$，
$\frac{OC}{OP}$=$\frac{m+1}{m}$，$\frac{OD}{OB}$=$\frac{6+\frac{6}{m}}{6}$=$\frac{m+1}{m}$，
∴$\frac{OC}{OP}=\frac{OD}{OB}$，
又∵∠BOP=∠DOC，
∴△BOP∽△DOC，
∴∠PBO=∠CDO，
∴BP∥AM．

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理，牢記定理是解題的關(guān)鍵，要注意認真總結(jié)．