Question

7．如圖，在?ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，交CD的延長線于點(diǎn)F，
（1）請寫出圖中的等腰三角形，并證明其中一個三角形是等腰三角形；
（2）若E恰好是AD的中點(diǎn)，AB長為4，∠ABC=60°，求△BCF的面積．

Answer 1

分析 （1）由在?ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，易證得等腰三角形有：△EFD、△ABE、△BCF；
（2）首先過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，可求得AH與AD的長，易證得△ABE≌△DFE（AAS），即可得S_△BCF=S_?ABCD．

解答 解：（1）等腰三角形有：△EFD、△ABE、△BCF．
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
即△ABE是等腰三角形；

（2）過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，
∵AB=4，∠ABC=60°，
∴AH=2$\sqrt{3}$，AD=2AE=2AB=8，
在?ABCD中，AB∥CD，
∴∠A=∠ADF，∠ABE=∠F，
又∵E恰好是AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
在△ABE和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ADF}\\{∠ABE=∠F}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴S_△BCF=S_?ABCD=8×2$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法．