Question

3．已知：一次函數(shù)y=-x+b的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B與反比例函數(shù)$y=\frac{5}{x}（x＞0）$的圖象交于點(diǎn)C、D，且$\frac{BD}{BA}=\frac{2}{3}$．
（1）求∠BAO的度數(shù)；
（2）求O到BC的距離．

Answer 1

分析 （1）在y=-x+b中，令y=0，則x=b，令x=0，y=b，求得OA=b，OB=b，得到tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=1，即可得到結(jié)論；
（2）過(guò)D作DE⊥x軸于E，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AE}{OA}=\frac{DE}{OB}=\frac{AD}{AB}$，點(diǎn)D在一次函數(shù)y=-x+b的圖象上，設(shè)D（m，-m+b），由已知條件得到$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，得到$\frac{b-m}=\frac{1}{3}$，①，由點(diǎn)D反比例函數(shù)$y=\frac{5}{x}（x＞0）$的圖象上，得到m（-m+b）=5，②，①，②聯(lián)立方程組解得得到得到OA=OB=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 解：（1）在y=-x+b中，令y=0，則x=b，令x=0，y=b，
∴A（b，0），B（0，b），
∴OA=b，OB=b，
∴tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=1，
∴∠BAO=45°；

（2）過(guò)D作DE⊥x軸于E，
∴DE∥OB，
∴△ADE∽△AOB，
∴$\frac{AE}{OA}=\frac{DE}{OB}=\frac{AD}{AB}$，
∵點(diǎn)D在一次函數(shù)y=-x+b的圖象上，
∴設(shè)D（m，-m+b），
∵$\frac{BD}{BA}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{b-m}=\frac{1}{3}$，①，
∵點(diǎn)D反比例函數(shù)$y=\frac{5}{x}（x＞0）$的圖象上，
∴m（-m+b）=5，②，
①，②聯(lián)立方程組解得m=±$\sqrt{10}$，
∵D在第一象限，
∴m=$\sqrt{10}$，
∴b=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴OA=OB=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=3$\sqrt{5}$，
∴O到BC的距離=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，當(dāng)有兩個(gè)函數(shù)的時(shí)候，著重使用一次函數(shù)，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強(qiáng)．