Question

12．如圖，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，2），（1，0），直線y=$\frac{1}{2}x$-3與坐標(biāo)軸交于C、D兩點(diǎn)．
（1）求直線AB：y=kx+b與CD交點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）直接寫出不等式kx+b＞$\frac{1}{2}$x-3的解集；
（3）求四邊形OBEC的面積；
（4）利用勾股定理證明：AB⊥CD．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，利用二元一次方程組求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象寫出不等式kx+b＞$\frac{1}{2}$x-3的解集；
（3）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特征求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；
（4）作EF⊥y軸于點(diǎn)F，根據(jù)勾股定理分別求出AE²、CE²、AC²，利用勾股定理的逆定理判斷即可．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
故直線AB的解析式是y=-2x+2，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2}\\{y=\frac{1}{2}x-3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
故點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，-2）；
（2）由圖象可知，x＜2時(shí)，y=kx+b的圖象在y=$\frac{1}{2}x$-3的圖象的上方，
故不等式kx+b＞$\frac{1}{2}$x-3的解集是x＜2；
（3）y=$\frac{1}{2}x$-3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，當(dāng)y=0時(shí)，x=6，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-3），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（6，0）
四邊形OBEC的面積=△DOC的面積-△DBE的面積=$\frac{1}{2}$×6×3-$\frac{1}{2}$×5×2=4；
（4）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F，
AE²=AF²+EF²=4²+2²=20，
CE²=CF²+EF²=2²+1²=5，
AC²=5²=25，
∴AE²+CE²=AC²，
∴△ACE是直角三角形，且∠AEC=90°
∴AB⊥CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、利用二元一次方程組求兩條直線的交點(diǎn)、利用函數(shù)圖象解不等式、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法的一般步驟、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．