Question

4．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，正方形DEFG的頂點D，E分別在邊AC、BC上，頂點F、G都在邊AB上．
（1）求證：GF²=AG•BF；
（2）若△ABC的面積為48，AB=12，求正方形DEFG的邊長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ADG∽△EBF，由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論；
（2）過點C作過C作CH⊥AB交DE于M，設正方形DEFG的邊長為x，根據(jù)△ABC的面積為48，AB=12，得到CH=8，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結論．

解答 解：（1）∵四邊形DEFG是正方形，
∴DG=GF=EF，∠DGF=∠EFG=90°，
∴∠DGA=∠EFB=90°，
∴∠A+∠B=∠FEB+∠B=90°，
∴∠A=∠FEB，
∴△AGD∽△EFB，
∴$\frac{AG}{EF}=\frac{DG}{BF}$，
即$\frac{AG}{GF}=\frac{GF}{BF}$，
∴GF²=AG•BF；

（2）過C作CH⊥AB交DE于M，
設正方形DEFG的邊長為x，
∵△ABC的面積為48，AB=12，
∴CH=8，
∵DE∥AB，
∴CM⊥DE，△CDE∽△CAB，
∴$\frac{CM}{CH}$=$\frac{DE}{AB}$，
即$\frac{8-x}{8}$=$\frac{x}{12}$，
∴x=$\frac{24}{5}$，
∴正方形DEFG的邊長為$\frac{24}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．