Question

11．已知在△ABC中，CA=CB，點(diǎn)O在高CH上，OD⊥AC于D，以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O．
（1）如圖①，求證：CB是⊙O的切線；
（2）如圖②，若⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，AC=5，AB=6，求⊙O的面積．

Answer 1

分析 （1）作OE⊥BC于E，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出∠ACH=∠BCH，由角平分線的性質(zhì)得出OE=OD，即可得出結(jié)論；
（2）由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出AH=BH=$\frac{1}{2}$AB，由勾股定理求出CH，再證明△COD∽△CAH，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，求出OD，即可求出⊙O的面積．

解答 （1）證明：作OE⊥BC于E，如圖1所示：
∵CA=CB，點(diǎn)O在高CH上，
∴∠ACH=∠BCH，
∵OD⊥CA，OE⊥CB，
∴OE=OD，
∴CB是⊙O的切線；
（2）解：如圖2所示：
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴OH=OD，
∵CA=CB，CH是高，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴CH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵∠OCD=∠ACH，∠CDO=∠CHA=90°，
∴△COD∽△CAH，
∴$\frac{OD}{AH}=\frac{OC}{AC}$，
即$\frac{OD}{3}=\frac{4-OD}{5}$，
解得OD=$\frac{3}{2}$，
∴⊙O的面積=π×（$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{4}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定方法、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓的面積的計(jì)算；熟練掌握切線的判定方法，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．