Question

20．如圖①，E是直線AB，CD內(nèi)部一點(diǎn)，AB∥CD，連接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A=20°，∠D=40°，則∠AED等于多少度？
②猜想圖①中∠AED，∠EAB，∠EDC的關(guān)系，并用兩種不同的方法證明你的結(jié)論．
（2）拓展應(yīng)用：
如圖②，射線FE與l₁，l₂交于分別交于點(diǎn)E、F，AB∥CD，a，b，c，d分別是被射線FE隔開的4個(gè)區(qū)域（不含邊界，其中區(qū)域a，b位于直線AB上方，P是位于以上四個(gè)區(qū)域上的點(diǎn)，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的關(guān)系（選擇其中一種情況說(shuō)明理由）．

Answer 1

分析 （1）①延長(zhǎng)DE交AB于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DFA=∠D=40°，∠AED=∠A+∠DFA，代入求出即可；
②過(guò)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A=∠AEF，∠D=∠DEF，即可求出答案；
（2）根據(jù)題意畫出符合的四種情況，根據(jù)圖形和平行線的性質(zhì)得出答案即可．

解答 （1）解：①延長(zhǎng)DE交AB于F，如圖1，
∵AB∥CD，∠D=40°，
∴∠DFA=∠D=40°，
∵∠A=20°，
∴∠AED=∠A+∠DFA=20°+40°=60°；

②∠AED=∠A+∠D，
證明：方法一、延長(zhǎng)DE交AB于F，如圖1，
∵AB∥CD，
∴∠DFA=∠D，
∴∠AED=∠A+∠DFA；
方法二、過(guò)E作EF∥AB，如圖2，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A=∠AEF，∠D=∠DEF，
∴∠AED=∠AEF+∠DEF=∠A+∠D；

（2）
當(dāng)P在a區(qū)域時(shí)，如圖3，∠PEB=∠PFC+∠EPF；
當(dāng)P點(diǎn)在b區(qū)域時(shí)，如圖4，∠PFC=∠PEB+∠EPF；
當(dāng)P點(diǎn)在區(qū)域c時(shí)，如圖5，∠EPF+∠PEB+∠PFC=360°；
當(dāng)P點(diǎn)在區(qū)域d時(shí)，如圖6，∠EPF=∠PEB+∠PFC．
證明：圖3，
∵AB∥CD，
∴∠PMB=∠PFC，
∵∠PMB=∠PEB+∠EPF，
∴∠PFC=∠PEB+∠EPF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，能畫出符合的各個(gè)情況是解此題的關(guān)鍵，用了分類討論思想．