Question

18．如圖1，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=45°，連接EF．延長CD至G，使GD=EB，連接AG，易證△AFG≌△AFE．所以EF，BE，DF之間的數(shù)量關系為 EF=DF+BE．
（1）如圖2，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD的延長線上，∠EAF=45°，連接EF．試猜想EF，BE，DF之間的數(shù)量關系；（直接寫出結(jié)果，不需證明）
（2）如圖3，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊CB，DC的延長線上，∠EAF=45°，連接EF．試猜想EF，BE，DF之間的數(shù)量關系，并加以證明；
（3）如圖4，點E，F(xiàn)在正方形ABCD的對角線BD上，∠EAF=45°，若BE=2，DF=1，請直接寫出EF的長．

Answer 1

分析 （1）在BE上截取BG=DF，連接AG；先由SAS證明△ABG≌△ADF，得出AG=AF，∠BAG=∠DAF，再證出∠EAG=∠EAF，由SAS證明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，即可得出結(jié)論；（2）在CD上截取DG=BE，連接AG；先由SAS證明△ABE≌△ADG，得出∠EAB=∠GAD，AE=AG，再證出∠GAF=∠EAF，由SAS證明△AEF≌△AGF，得出EF=GF，即可得出結(jié)論；
（3）作BM⊥BD，并在BM上截取BG=DF=1，連接AG、EG；先由勾股定理求出EG，求出∠ABG=∠ADF，由SAS證明△ABG≌△ADF，得出AG=AF，∠BAG=∠DAF，證出∠EAG=∠EAF，證明△AEG≌△AEF，得出EF=EG即可．

解答 （1）解：BE=DF+EF；理由如下：
在BE上截取BG=DF，連接AG；如圖2所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠BAD=∠B=∠ADC=∠ADF=90°，
在△ABG和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADF}\\{BG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
∴∠GAF=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=45°，
∴∠EAG=∠EAF，
在△AEG和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠EAG=∠EAF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG=EF，
∴EG+BG=EF+DF，
即BE=EF+DF；
（2）解：DF=EF+BE；理由如下：
在CD上截取DG=BE，連接AG；如圖3所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠D=∠ABC=∠ABE=90°，
在△ABE和△ADG 
中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{∠ABE=∠D}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠EAB=∠GAD，AE=AG，
∴∠EAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAF=45°，
∴∠GAF=∠EAF，在△AEF和△AGF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF，
∵DF=GF+GD，
∴DF=EF+BE；
（3）解：EF的長為$\sqrt{5}$，理由如下：
作BM⊥BD，并在BM上截取BG=DF=1，連接AG、EG；如圖4所示：
則∠EBG=90°，
∴EG=$\sqrt{B{E}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADF=45°，
∴∠ABG=45°，
∴∠ABG=∠ADF，
在△ABG和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=DF}&{\;}\\{∠ABG=∠ADF}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
∴∠GAF=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=45°，
∴∠EAG=∠EAF，
在△AEG和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}&{\;}\\{∠EAG=∠EAF}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG=EF，
∴EF=$\sqrt{5}$．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；本題難度較大，綜合性強；每小題都需要通過作輔助線證明兩次三角形全等才能得出結(jié)論．