Question

3．已知⊙O經(jīng)過△ABC的三個頂點(diǎn)，AB=AC，圓心O到BC的距離為3，圓的半徑為7，求腰長AB．

Answer 1

分析 先根據(jù)勾股定理先求得BD的值，再根據(jù)勾股定理可求得AB的值．注意：圓心在內(nèi)接三角形內(nèi)時，AD=10cm；圓心在內(nèi)接三角形外時，AD=4cm，再由勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：分圓心在內(nèi)接三角形內(nèi)和在內(nèi)接三角形外兩種情況討論，
如圖一，假若∠A是銳角，△ABC是銳角三角形，
連接OA，OB，
∵OD=3cm，OB=7cm，
∴AD=10cm，
∴BD=$\sqrt{{OB}^{2}-{OD}^{2}}$=2$\sqrt{10}$cm，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴AB=$\sqrt{{AD}^{2}+{BD}^{2}}$=2$\sqrt{35}$cm；
如圖二，若∠A是鈍角，則△ABC是鈍角三角形，
和圖一解法一樣，只是AD=7-3=4cm，
∴AB=$\sqrt{{AD}^{2}+{BD}^{2}}$=2$\sqrt{14}$cm，
綜上可得腰長AB=2$\sqrt{35}$cm或2$\sqrt{14}$cm．

點(diǎn)評 本題考查的是三角形的外接圓與外心，垂徑定理和勾股定理，注意分圓心在內(nèi)接三角形內(nèi)和在內(nèi)接三角形外兩種情況討論，有一定難度．