Question

9．在△ABC中，AB=AC，∠BCD=∠BAC，點D與點A在BC的兩側，∠BCD的邊CD所在的直線與邊AB坐在的直線相交于點P，PE⊥AC，垂足為E．
若∠BAC=90°時，如圖（1）易證2CE=AP+AB；
若∠BAC≠90°時，其他條件不變，如圖（2）、圖（3），則在圖（2）、圖（3）兩種情況下線段CE、AP、AB又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，并對其中一種情況給予證明．

Answer 1

分析 根據等腰三角形三線合一的性質進行分析得出線段CE、AP、AB的關系即可．

解答 解：如圖1：過點P作PF∥BC，交AC的延長線于點F，

∴∠APF=∠ABC=∠ACB=∠F，
∴AF=AP，
∵∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠PCF+∠BCD=∠A+∠ABC，
∵∠BCD=∠A，
∴∠PCF=∠ABC，
∴∠PCF=∠F，
∴PC=PF，
∵PE⊥CF，
∴CE=EF（三線合一），
∴2CE=CF=AF-AC=AP-AB；
如圖2，過點P作PF∥BC，交CA的延長線于點F，

∴∠APF=∠B=∠ACB=∠F，
∴AF=AP，
∵∠BCD=∠BPC+∠B，
∠BAC=∠BPC+∠PCF，
∠BCD=∠BAC，
∴∠B=∠PCF，
∴∠PCF=∠F，
∴PC=PF，
∵PE⊥CF，
∴CE=EF（三線合一），
∴2CE=CF=AF+AC=AP+AB．

點評 此題考查全等三角形問題，關鍵是根據等腰三角形的三線合一的性質解答．