Question

4．求滿足等式x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$-$\sqrt{2003x}$-$\sqrt{2003y}$+$\sqrt{2003xy}$=2003的正整數(shù)對(duì)（x，y）的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 先將已知等式變形，（$\sqrt{xy}$-$\sqrt{2003}$）（$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$+$\sqrt{2003}$）=0，由$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$+$\sqrt{2003}$＞0，則$\sqrt{xy}$-$\sqrt{2003}$=0，從而求得x，y的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)．

解答 解：由x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$-$\sqrt{2003x}$-$\sqrt{2003y}$+$\sqrt{2003xy}$=2003可得：
（$\sqrt{xy}$-$\sqrt{2003}$）（$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$+$\sqrt{2003}$）=0，
∵$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$+$\sqrt{2003}$＞0，
∴$\sqrt{xy}$-$\sqrt{2003}$=0，
故xy=2003，
又∵2003是質(zhì)數(shù)，
∴必有$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2003}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2003}\\{y=1}\end{array}\right.$．
故正整數(shù)對(duì)（x，y）的個(gè)數(shù)是2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了質(zhì)數(shù)和合數(shù)，以及二次根式的混合運(yùn)算，是一道綜合題難度較大．