Question

7．如圖，在等邊△ABC中：
（1）在圖（1）中，已知點(diǎn)D、E分別在AC、AB上，AE=EB，AD：AC=1：3，求證：△AED∽△CBD；
（2）在圖（2）中，已知點(diǎn)F、G分別在BC、AF上，BF=FC，AG=GF，BG延長線交AC于點(diǎn)D，求證：AD：AC=1：3．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠C=60°，BC=AB，由AE=BE可得到CB=2AE，再由$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$得到CD=2AD，則$\frac{AD}{CB}=\frac{AE}{CB}$，然后根據(jù)兩邊及其夾角法可得到結(jié)論；
（2）過F作FE∥BD交AC于E，根據(jù)平行線等分線段定理即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵△ABC為正三角形，
∴∠A=∠C=60°，BC=AB，
∵AE=BE，
∴CB=2AE，
∵$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴CD=2AD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{AE}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠A=∠C，
∴△AED∽△CBD；

（2）如圖2，過F作FE∥BD交AC于E，
∵BF=FC，
∴$\frac{BF}{FC}=\frac{DE}{EC}=1$，
∴DE=CE，
同理AD=DE，
∴AD=DE=EC，
∴AD：AC=1：3．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線等分線段定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．