Question

8．已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），且過點(diǎn)（-1，$\frac{5}{4}$），直線y=kx+2與y軸相交于點(diǎn)P，與二次函數(shù)圖象交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）直接寫出二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=$\frac{1}{4}$x²+1．
（2）對（1）中的二次函數(shù)，當(dāng)自變量x取值范圍在-1＜x＜3時，求其函數(shù)值y的取值范圍；
（3）求證：在此二次函數(shù)圖象下方的y軸上，必存在點(diǎn)G，使△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上，并求△GAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²+1，由于點(diǎn)（-1，$\frac{5}{4}$）在二次函數(shù)圖象上，把該點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+1，即可求出a，從而求出二次函數(shù)的解析式．
（2）先分別求出x=-1，x=0，x=3時y的值，然后結(jié)合圖象就可得到y(tǒng)的取值范圍．
（3）過點(diǎn)A作y軸的對稱點(diǎn)A′，連接BA′并延長，交y軸于點(diǎn)G，連接AG，如圖2，則點(diǎn)A′必在拋物線上，且∠AGP=∠BGP，由此可得△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上．由于點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在直線y=kx+2上，從而可以得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₁，kx₁+2）、A′的坐標(biāo)為（-x₁，kx₁+2）、B的坐標(biāo)為（x₂，kx₂+2）．設(shè)直線BG的解析式為y=mx+n，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，n）．由于點(diǎn)A′（-x₁，kx₁+2）、B（x₂，kx₂+2）在直線BG上，可用含有k、x₁、x₂的代數(shù)式表示n．由于A、B是直線y=kx+2與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+1的交點(diǎn)，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．從而求出n=0，即可證出：在此二次函數(shù)圖象下方的y軸上，存在定點(diǎn)G（0，0），使△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上．由S_△ABG=S_△APG+S_△BPG，可以得到S_△ABG即可用k表示，從而求得最小值．

解答 （1）解：由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
因此二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y=ax²+1．
∵拋物線y=ax²+1過點(diǎn)（-1，$\frac{5}{4}$）．
解得：a=$\frac{1}{4}$．
∴二次函數(shù)的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x²+1；
（2）解：當(dāng)x=-1時，y=$\frac{5}{4}$，當(dāng)x=0時，y=1，
當(dāng)x=3時，y=$\frac{13}{4}$結(jié)合圖1可得：當(dāng)-1＜x＜3時，y的取值范圍是1≤y＜$\frac{13}{4}$；
（3）①證明：∵△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上，
∴GP平分∠AGB．
∴直線GP是∠AGB的對稱軸．
過點(diǎn)A作GP的對稱點(diǎn)A′，如圖2，
則點(diǎn)A′一定在BG上．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₁，y₁），
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-x₁，y₁）．
∵點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在直線y=kx+2上，
∴y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2．
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-x₁，kx₁+2）、點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₂，kx₂+2）．
設(shè)直線BG的解析式為y=mx+n，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，n）．
∵點(diǎn)A′（-x₁，kx₁+2）、B（x₂，kx₂+2）在直線BG上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{1}m+n=k{x}_{1}+2}\\{{x}_{2}m+n=k{x}_{2}+2}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{k（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{2}+{x}_{1}}}\\{n=\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{2}+{x}_{1}}+2}\end{array}\right.$．
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是直線y=kx+2與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+1的交點(diǎn)，
∴x₁、x₂是方程kx+2=$\frac{1}{4}$x²+1即x²-4kx-4=0的兩個實數(shù)根．
∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得；x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．
∴n=$\frac{2k×（-4）}{4k}$=-2+2=0．
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，0）．
∴在此二次函數(shù)圖象下方的y軸上，存在定點(diǎn)G（0，0），使△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上．
②解：過點(diǎn)A作AC⊥OP，垂足為C，過點(diǎn)B作BD⊥OP，垂足為D，如圖2，
∵直線y=kx+2與y軸相交于點(diǎn)P，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）．
∴PG=2．
∴S_△ABG=S_△APG+S_△BPG
=$\frac{1}{2}$PG•AC+$\frac{1}{2}$PG•BD
=$\frac{1}{2}$PG•（AC+BD）
=$\frac{1}{2}$×2×（-x₁+x₂）
=x₂-x₁
=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{（4k）^{2}-4×（-4）}$
=$\sqrt{16（{k}^{2}+1）}$
=4$\sqrt{{k}^{2}+1}$．
∴當(dāng)k=0時，S_△ABG最小，最小值為4．
∴△GAB面積的最小值為4．

點(diǎn)評 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象、三角形的內(nèi)切圓、根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式等知識，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．