Question

3．如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，AD、BE是△ABC的高，交于點(diǎn)H，BE的延長線交⊙O于F，下列結(jié)論：
①∠BAO=∠CAD；②AO=AH；③EH=EF；④DH=DC，
其中正確的有（　　）個(gè)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 作OG⊥AB于G，連結(jié)OB、AF，如圖，OG⊥AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠5=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠1+∠5=90°，BG=AG，再根據(jù)圓周角定理得∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB，則∠5=∠C，由于∠2+∠C=90°，則∠1=∠2，則可對①進(jìn)行判斷；
要證明AO=AH，而∠1=∠2，則要證明Rt△AGO≌Rt△AEH，所以要證明AG=AE，即證明AE=$\frac{1}{2}$AG，而∠ABE不能確定為30°，所以不能證明AE=$\frac{1}{2}$AB，于是可對②進(jìn)行判斷；利用等角的余角相等得∠2=∠4，再利用圓周角定理得到∠4=∠3，則∠2=∠3，加上AE⊥HF，根據(jù)等腰三角形的判定方法得到△AHF為等腰三角形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)對③進(jìn)行判斷；要證明DH=DC，由于∠2=∠4，則要證明Rt△ADC≌Rt△BDH，
所以呀哦證明BD=AD，由于不能確定∠ABD=45°，不能確定BD=AD，于是可對④進(jìn)行判斷．

解答 解：作OG⊥AB于G，連結(jié)OB、AF，如圖，
∵OG⊥AB，
∴∠5=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠1+∠5=90°，BG=AG，
∵∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠5=∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠2+∠C=90°，
∴∠1=∠2，所以①正確；
∵BE⊥AC，
而∠ABE不能確定為30°，
∴AB≠2AE，
而AB=2AG，
∴AG≠AE，
而∠1=∠2，
∴不能判斷Rt△AGO和Rt△AEH全等，
∴不能確定AO=AH，所以②錯(cuò)誤；
∵∠2+∠C=90°，∠4+∠C=90°，
∴∠2=∠4，
而∠4=∠3，
∴∠2=∠3，
∵AE⊥HF，
∴△AHF為等腰三角形，
∴HE=EF，所以③正確；
由于不能確定∠ABD=45°，
∴不能確定BD=AD
∵∠2=∠4，
∴不能判斷Rt△ADC和Rt△BDH全等，
∴不能確定DH=CD，所以④錯(cuò)誤．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)；靈活運(yùn)用三角形全等的判定與性質(zhì)；合理作輔助線是解題的關(guān)鍵．