Question

11．拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為D（-1，2），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論：
①abc＜0；
②2b＜4a+c；
③方程ax²+bx=2-c有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
④a-b＞m（am+b）（m≠-1的實(shí)數(shù)）
其中正確結(jié)論的是②③④ （寫出序號）

Answer 1

分析 拋物線開口向下a＜0，對稱軸在y軸左側(cè)，b＜0，根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)得到拋物線的對稱軸為直線x=-1，則根據(jù)拋物線的對稱性得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，拋物線和y軸正半軸相交，c＞0，則abc＞0，由圖象可知當(dāng)x=-2時(shí)，y＞0，則4a-2b+c＞0，所以2b＜4a+c；根據(jù)二次函數(shù)的最大值問題，當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為2，即只有x=-1時(shí)，ax²+bx+c=2，所以說方程ax²+bx+c-2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)有最大值，所以a-b+c＞ma+mb+c，從而得出a-b＞m（am+b）．

解答 解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵對稱軸在y軸左側(cè)，
∴b＜0，
∵對稱軸為x=-1，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，
∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，
∴拋物線和y軸正半軸相交，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①錯誤；
∴當(dāng)x=-2時(shí)，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，
∴2b＜4a+c，故②正確；
∵當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為2，
即只有x=-1時(shí)，ax²+bx+c=2，
∴方程ax²+bx+c-2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；
∵當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)有最大值，
∴a-b+c＞ma+mb+c，
∴a-b＞m（a+b），故④正確．
故答案為②③④．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．