Question

11．如圖，已知，BE是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，連接CD并延長交BE的延長線于點A．
（1）證明：CD是⊙O的切線；
（2）若AD=2，AE=1，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由DE與CO平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等、同位角相等得到兩對角相等，再由OD=OE，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到∠COB=∠COD，再由OD=OB，OC為公共邊，利用SAS得出三角形BCO與三角形DCO全等，由全等三角形對應(yīng)角相等得到一對角相等，由BC為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到∠CBO=90°，進而得到∠CDO=90°，再由OD為圓的半徑，即可得到CD為圓O的切線；
（2）根據(jù)切割線定理求得AB的長，然后CD=BC=x，則AC=2+x，由勾股定理列方程求解即可求得．

解答 （1）證明：連接OD，
∵ED∥OC，
∴∠COB=∠DEO，∠COD=∠EDO，
∵OD=OE，
∴∠DEO=∠EDO，
∴∠COB=∠COD，
在△BCO和△DCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{∠COB=∠COD}\\{OC=OC}\end{array}\right.$
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CDO=∠CBO，
∵BC為圓O的切線，
∴BC⊥OB，即∠CBO=90°，
∴∠CDO=90°，
又∵OD為圓的半徑，
∴CD為圓O的切線；

（2）解：∵CD，BC分別切⊙O于D，B，
∴CD=BC，
∵AD²=AE•AB，即2²=1•AB，
∴AB=4，
設(shè)CD=BC=x，則AC=2+x，
∵A²C=AB²+BC²
∴（2+x）²=4²+x²，
解得：x=3，
∴CD=3．

點評 此題考查了切線的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．