Question

9．如圖，矩形ABCD中，E、G為AB、CD邊上的點，F(xiàn)為BC的中點，且BE=1，CG=4，EF⊥FG．
（1）求證：△EBF∽△FCG；
（2）求EG的長．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是矩形，于是得到∠B=∠C=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠EFB=∠FGC，即可得到結(jié)論；
（2）在直角三角形EBF和直角三角形CFG中，利用勾股定理分別求出EF和FG的長度，再利用勾股定理求出EG的長度即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EF⊥FG，
∴∠EFB+∠GFC=∠EFB+∠GFC=90°，
∴∠EFB=∠FGC，
∴△EBF∽△FCG；

（2）由（1）證得△EBF∽△FCG，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{BF}{CG}$，
∵F為BC的中點，
∴BF=CF，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{CF}{CG}$，
∴CF²=BE•CG=4，
∴CF=BF=2，BC=4，
∴EF²=BE²+BF²=5，F(xiàn)G²=CF²+CG²=20，
∵EF⊥FG，
∴EG²=EF²+FG²=25，
∴EG=5．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．