Question

16．如圖，己知拋物線y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3與x軸交于A和B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，頂點為D．
（1）求出點A，B，D的坐標；
（2）如圖，若線段OB在x軸上移動，且點O，B移動后的對應(yīng)點為O′，B′，首尾順次連接點O′、B′、D、C構(gòu)成四邊形O′B′DC，請求出四邊形O′B′DC的周長最小值．

Answer 1

分析 （1）令y=0，列方程可以求出點A、B坐標，通過配方法可以求出頂點D坐標．
（2）如圖點C向右平移4個單位得到點E，點E關(guān)于x軸的對稱點F坐標（4，3），連接DF與x軸交于點B′，此時四邊形CDB′O′周長最小，根據(jù)勾股定理即可計算．

解答 解：（1）令y=0，則$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3=0，解得x=-2或4，
∴點A坐標（-2，0），點B坐標（4，0）．
∵y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3=$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$，
∴頂點D（1，-$\frac{27}{8}$）．
（2）如圖點C向右平移4個單位得到點E，點E關(guān)于x軸的對稱點F坐標（4，3），連接DF與x軸交于點B′，此時四邊形CDB′O′周長最小，
此時四邊形CDB′O′周長=CD+CB′+B′O′+CO′=CD+O′B′+DB′+B′F=CD+O′B′+DF
=$\sqrt{{1}^{2}+（-\frac{27}{8}+3）^{2}}$+4+$\sqrt{{3}^{2}+（-\frac{27}{8}-3）^{2}}$=$\frac{\sqrt{73}}{8}$+4+$\frac{3\sqrt{353}}{8}$．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的圖象與幾何變換、軸對稱-最短問題等知識，第二個問題的關(guān)鍵是找到點O′、B′的位置，屬于比較難的最短問題，中考�？碱}型．