Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx²-2mx-2（m≠0）與y軸交于點(diǎn)A，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)B．
（1）若直線l與直線AB關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，該拋物線在-3＜x＜-2這一段位于直線l的上方，并且在3＜x＜4這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P（m，n）是直線l上的動點(diǎn)，設(shè)m=$\frac{2}{3}$-a（a＞0），如果在兩個實(shí)數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數(shù)，求實(shí)數(shù)a是取值范圍是$\frac{1}{6}$＜a$≤\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）首先求出直線l的解析式，根據(jù)條件可以判定拋物線經(jīng)過點(diǎn)（-2，6），代入拋物線解析式即可解決問題．
（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$-a，$\frac{2}{3}$+2a），根據(jù)在兩個實(shí)數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數(shù)，列出不等式組即可解決問題．

解答 解：（1）令x=0時，y=-2，
∴A（0，-2），
∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴B（1，0），
易得A點(diǎn)關(guān)于對稱軸直線x=1的對稱點(diǎn)A′（2，-2），
則直線l經(jīng)過A′、B，
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-2}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線l的解析式為y=-2x+2；
∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴拋物線在3＜x＜4這一段與在-2＜x＜-1這一段關(guān)于對稱軸對稱
結(jié)合圖象可以觀察到拋物線在-3＜x＜-2這一段位于直線l的上方，在3＜x＜4這一段位于直線AB的下方，
∴拋物線與直線l的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，
當(dāng)x=-2時，y=-2×（-2）+2=6，
∴拋物線經(jīng)過（-2，6），
4m+4m-2=6，
解得m=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-2．
（2）∵y=-2x+2，點(diǎn)P在直線上，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)可用含a的代數(shù)式表示為（$\frac{2}{3}$-a，$\frac{2}{3}$+2a），
∵a＞0，
∴m＜$\frac{2}{3}$＜n，
若在兩個實(shí)數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}-a＜0}\\{\frac{2}{3}+2a≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}-a≥0}\\{\frac{2}{3}+2a＞1}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{6}$＜a≤$\frac{2}{3}$．
故答案為$\frac{1}{6}$＜a≤$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出拋物線經(jīng)過的點(diǎn)（-1，4）是解題的關(guān)鍵，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為不等式組解決，屬于中考壓軸題．