Question

16．如圖，已知直線y=-x+3分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若AB=3EF，則k的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 作FH⊥x軸，EC⊥y軸，F(xiàn)H與EC交于D，先利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A（3，0），B（0，3），易得△AOB為等腰直角三角形，則AB=3$\sqrt{2}$，所以EF=$\frac{1}{3}$AB=$\sqrt{2}$，且△DEF為等腰直角三角形，則EF=1；設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-t+3），則E點(diǎn)坐標(biāo)為（t+1，-t+1），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到t（-t+3）=（t+1）•（-t+2），解得t=$\frac{1}{2}$，這樣可確定E點(diǎn)坐標(biāo)為（t+1，-t+2），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到k=2．

解答 解：作FH⊥x軸，EC⊥y軸，F(xiàn)H與EC交于D，如圖，
∵直線y=-x+3分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），OA=OB，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=3$\sqrt{2}$，
∴EF=$\frac{1}{3}$AB=$\sqrt{2}$，
∴△DEF為等腰直角三角形，∴FD=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=1，
設(shè)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，代入y=-x+3，則縱坐標(biāo)是-t+3，則F的坐標(biāo)是：（t，-t+3），E點(diǎn)坐標(biāo)為（t+1，-t+2），
∴t（-t+3）=（t+1）•（-t+2），解得t=1，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
∴k=2×1=2．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．