Question

15．在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，CF∥AB，P為AD上一點(diǎn)，連結(jié)并延長BP交AC于點(diǎn)E，交CF于點(diǎn)F，求證：
（1）△ABP≌△ACP；
（2）BP²=PE•PF．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性質(zhì)得出結(jié)論，即可判斷出結(jié)論；
（2）要證線段乘積式相等，常常先證比例式成立，要證比例式，須有三角形相似，要證三角形相似，須根據(jù)已知與圖形找條件就可．

解答 解：（1）證明：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的對稱軸．
∴PC=PB，∠PCE=∠ABP．
在△ABP和△ACP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AP=AP}\\{BP=CP}\end{array}\right.$，
∴△ABP和≌△ACP，
（2）∵CF∥AB，
∴∠PFC=∠ABP（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∴∠PCE=∠PFC．
又∵∠CPE=∠EPC，
∴△EPC∽△CPF．
∴（相似三角形的對應(yīng)邊成比例）．
∴PC²=PE•PF．
∵PC=BP
∴BP²=PE•PF．

點(diǎn)評 此題是相似三角形的判定和性質(zhì)，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明線段乘積式相等，常常先證比例式成立這是十分重要的方法之一，本題主要考查的是相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用．