Question

16．如圖1，直線AB：y=-x-b分別與x，y軸交于A（6，0）、B兩點，過點B的直線交x軸負半軸與C，且OB：OC=3：1．
（1）求直線BC的函數(shù)表達式；
（2）如圖2，P為x軸上A點右側(cè)的一動點，以P為直角頂點，BP為一腰在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形△BPQ，連接QA并延長交y軸于點K．當(dāng)P點運動時，K點的位置是否發(fā)生變化？如果不變請求出它的坐標；如果變化，請說明理由．
（3）直線EF：y=$\frac{1}{2}$x-k（k≠0）交AB于E，交BC于點F，交x軸于D，是否存在這樣的直線EF，使得S_△EBD=
S_△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BC的解析式是Y=ax+c，由直線AB：y=-x-b過A（6，0），可以求出b，因此可以求出B點的坐標，再由已知條件可求出C點的坐標，把B，C點的坐標分別代入求出a和c的值即可；
（2）不變化，過Q作QH⊥x軸于H，首先證明△BOP≌△HPQ，再分別證明△AHQ和△AOK為等腰直角三角形，問題得解；
（3）過E、F分別作EM⊥x軸，F(xiàn)N⊥x軸，則∠EMD=∠FND=90°，由題目的條件證明△NFD≌△EDM，進而得到FN=ME，聯(lián)立直線AB：y=-x-b和y=2x-k求出交點E和F的縱坐標，再利用等底等高的三角形面積相等即可求出k的值；

解答 解：（1）直線AB：y=-x-b分別與x，y軸交于A（6，0）、B兩點，
∴0=-6-b，
∴b=-6，
∴直線AB的解析式為：y=-x+6．
∴B（0，6），
∴OB=6，
∵OB：OC=3：1，
∴OC=$\frac{1}{3}$OB=2，∴C（-2，0），
設(shè)BC的解析式是y=ax+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6=0•a+c}\\{0=-2a+c}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式是：y=3x+6；

（2）K點的位置不發(fā)生變化，K（0，-6）．
如圖1，過Q作QH⊥x軸于H，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，PB=PQ，
∵∠BOA=∠QHA=90°，
∴∠BPO=∠PQH，
在△BOP與△HPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠QHA}\\{∠BPO=∠PQH}\\{BP=PQ}\end{array}\right.$，
∴△BOP≌△HPQ（AAS），
∴PH=BO，OP=QH，
∴PH+PO=BO+QH，
即OA+AH=BO+QH，
又∵OA=OB，
∴AH=QH，
∴△AHQ是等腰直角三角形，
∴∠QAH=45°，
∴∠OAK=45°，
∴△AOK為等腰直角三角形，
∴OK=OA=6，
∴K（0，-6）；

（3）如圖2，過E、F分別作EM⊥x軸，F(xiàn)N⊥x軸，則∠EMD=∠FND=90°．
∵S_△EBD=S_FBD，
∴DE=DF．
又∵∠NDF=∠EDM，
在△NFD與△EDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FND=∠DEM}\\{∠NDF=∠EDM}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△NFD≌△EDM（AAS），
∴FN=ME．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-k}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$得E點的縱坐標y_E=$\frac{6-2k}{3}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-k}\\{y=3x+6}\end{array}\right.$得F點的縱坐標y_F=$\frac{-6-6k}{5}$
∵FN=-y_F，ME=y_E，
∴k=$\frac{3}{7}$；
當(dāng)k=$\frac{3}{7}$時，存在直線EF：y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{7}$，使得S_△EBD=S_△FBD．

點評 此題綜合考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確求解析式以及借助于函數(shù)圖象全面的分析問題．