Question

7．如圖，在△ABC中，AB=5cm，BC=8cm，AD為△ABC的外角平分線，且AD∥BC，點(diǎn)M從A出發(fā)，以1cm/s的速度沿射線AD勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N以相同的速度從C出發(fā)沿CB勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)B時(shí)，點(diǎn)M也停止運(yùn)動(dòng)．
（1）MN是否可以垂直平分AC，為什么？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△MNC為等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）由條件可證明四邊形AMCN為平行四邊形，當(dāng)MN垂直AC時(shí)，則四邊形AMCN為菱形，在△ABN中，利用三角形三邊關(guān)系可得到t的范圍，可知存在滿足條件的t，可得出結(jié)論；
（2）用t表示出CN，分CM=CN，MN=CN和CM=MN三種情況分別討論，得出關(guān)于t的方程，求解即可．

解答 解：（1）如圖，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠C，∠EAD=∠B，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC=5，
∵BC=8
∴cos∠C=$\frac{4}{5}$
如圖，連接AN，CM，
∵M(jìn)、N的速度相等，
∴AM=CN=t，且AM∥CN，
∴四邊形AMCN為平行四邊形，
當(dāng)MN⊥AC時(shí)，$\frac{OC}{CN}$=$\frac{4}{5}$，OC=$\frac{5}{2}$，t=$\frac{25}{8}$
∴存在使四邊形AMCN為菱形的時(shí)間t，即MN可以垂直平分AC；
（2）①由（1）可知，當(dāng)四邊形AMCN為菱形時(shí)，即CM=CN，此時(shí)t=$\frac{25}{8}$；
②當(dāng)MN=NC時(shí)，如圖


過(guò)A點(diǎn)作AG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥BC于點(diǎn)F，
由（1）知△ABC為等腰三角形，
∴BG=CG=4cm，
∵AD∥BC
∴四邊形AGFM為矩形，
在Rt△ABG中由勾股定理得AG=3
∴AM=GF=t，AG=MF=3
若MN=NC=t
則NF=GF-（CG-NG）=t-（4-t）=2t-4；
在Rt△MNF中由勾股定理得：NF²+MF²=MN²
即（2t-4）²+3²=t²
整理得：3t²-16t+25=0，此方程無(wú)解
故不存在MN=NC；
③當(dāng)MN=MC時(shí)，如圖

過(guò)A點(diǎn)作AG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥BC于點(diǎn)F，
由（1）知△ABC為等腰三角形，
∴BG=CG=4cm，
∵AD∥BC
∴四邊形AGFM為矩形，
在Rt△ABG中由勾股定理得AG=3
∴AM=GF=t，AG=MF=3
若MN=MC=t
則CF=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{1}{2}$t
又CF=CG-FG=4-t
∴$\frac{1}{2}$t=4-t
解得：t=$\frac{8}{3}$
∴當(dāng)t為$\frac{25}{8}$或$\frac{8}{3}$時(shí)△MNC為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能得出關(guān)于x的方程是解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，等邊對(duì)等角．