Question

12．如圖1，△ABC和△ADE為等邊三角形，D，E分別在AC，AB上，M，N分別為EB，CD的中點(diǎn)，易證：CD=BE．△AMN是等邊三角形．請(qǐng)回答下列問題．

（1）如圖2，當(dāng)把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E恰好落在AC上時(shí)．
①CD與BE還相等嗎？若相等，請(qǐng)證明；若不等，請(qǐng)說明理由；
②△AMN還是等邊三角形嗎？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由．
（2）如圖3，當(dāng)把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E恰好落在C、D的連線段上時(shí)．
①求證：AD∥BE；
②若此時(shí)AD⊥AC，且△ADE的面積為3，則四邊形ABCD的面積為15．

Answer 1

分析 （1）①可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，由于全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，所以CD=BE．
②利用SAS判定△ABM≌△ACN，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可以證明△AMN是等邊三角形．
（2）①利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可證明；
②根據(jù)三角形的面積進(jìn)行解答即可．

解答 解：（1）①CD=BE．理由如下：
∵△ABC和△ADE為等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴CD=BE；                
②△AMN是等邊三角形．理由如下：
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∵M(jìn)、N分別是BE、CD的中點(diǎn)，
∴BM=CN，
在△ABM和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=CN}\\{∠ABM=∠CAN}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC，
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
∴△AMN是等邊三角形；
（2）①∵∠BAE=∠BAC+∠CAE，∠DAC=∠DAE+∠CAE，
∴∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠D=∠BEA，
∵在等邊△DAE中，∠D=∠DAE，
∴∠BAE=∠DAE，
∴AD∥BE；
②∵AD⊥AC，且△ADE的面積為3，
∴四邊形ABCD的面積為15．
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的判定：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形解答．