Question

13．如圖，在平行四邊形ABCD，BE⊥AD于點(diǎn)E，且點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，tanA=2，點(diǎn)P在AD的延長(zhǎng)線上，作EF⊥CP于點(diǎn)F，連接BF．
（1）若BC=4，求CD的長(zhǎng)；
（2）求證：CF=$\sqrt{2}$BF-EF．

Answer 1

分析 （1）在RT△求出AB，再利用平行四邊形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（2）將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCM，只要證明①F、C、M共線，②△BFM是等腰直角三角形即可．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥CB，AD=BC=4，AB=CD
∵AE=ED=2，tanA=2，∠AEB=90°，
∴$\frac{EB}{AE}$=2，BE=4，
在RT△ABE中，∵AE=2，BE=4，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
（2）證明：∵BC=BE，∠EBC=90°，
∴可以將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCM，
∵∠EBC+∠EFC=180°，
∴∠BEF+∠BCF=180°，
∵∠BEF=∠BCM
∴∠BCF+∠BCM=180°，
∴F、C、M共線，BF=BM，∠FBM=90°，
∴FM=$\sqrt{2}$BF，
∵EF=CM，
∴EF+CF=CM+CF=FM=$\sqrt{2}$FB．
∴CF=$\sqrt{2}$FB-EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．