Question

8．如圖1，∠DBC和∠ECB是△ABC的兩個外角．
（1）用直尺和圓規(guī)分別作∠DBC和∠ECB的平分線，設它們相交于點P；
（2）過點P分別畫直線AB、AC、BC的垂線段PM、PN、PQ；
（3）連接AP，說明：AP平分∠BAC．

Answer 1

分析 （1）利用基本作圖（作一個已知角的平分線）作BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，兩角平分線相交于P；
（2）利用基本作圖（過一點作已知直線的垂線）可作出PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PQ⊥BC于Q；
（3）根據(jù)角平分線的性質得PM=PQ，PQ=PN，則PM=PN，然后根據(jù)角平分線的性質定理的逆定理可判斷AP平分∠BAC．

解答 解：（1）如圖，BP和CP為所作；
（2）PM、PN、PQ為所作；
（3）∵PB和PC分別平分∠DBC和∠ECB，
而PM⊥BD，PQ⊥BC，PN⊥CE，
∴PM=PQ，PQ=PN，
∴PM=PN，
∴PA平分∠BAC．

點評 本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了角平分線的性質定理及其逆定理．