Question

17．現(xiàn)有一塊直角三角形的鐵皮ABC，∠ACB=90°，AC=80，BC=60，要在其中剪出一個(gè)面積盡可能大的正方形，小紅和小亮各想出了甲，乙兩種方案，請(qǐng)你幫忙算一算哪一種方案剪出的正方形面積較大？

Answer 1

分析 對(duì)于方案甲：先利用勾股定理計(jì)算出AB=100，再利用面積法計(jì)算出CD=48，設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為x，則EF=EH=MD=x，證明△CEH∽△CAB，然后利用相似比可計(jì)算出x=$\frac{1200}{37}$；對(duì)于方案乙：設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為y，則EF=FG=y，AF=80-y，證明△AGF∽△ABC，利用相似比可計(jì)算出y=$\frac{240}{7}$，然后比較x和y的大小即可判斷哪一種方案剪出的正方形面積較大．

解答 解：方案甲：AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{6{0}^{2}+8{0}^{2}}$=100，
∵$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CD=$\frac{60×80}{100}$=48，
設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為x，則EF=EH=MD=x，
∵EH∥AB，
∴△CEH∽△CAB，
∴$\frac{EH}{AB}$=$\frac{CM}{CD}$，即$\frac{x}{100}$=$\frac{48-x}{48}$，解得x=$\frac{1200}{37}$；
方案乙：設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為y，則EF=FG=y，AF=80-y，
∵FG∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴$\frac{FG}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$，即$\frac{y}{60}$=$\frac{80-y}{80}$，解得y=$\frac{240}{7}$，
∵$\frac{240}{7}$=$\frac{1200}{35}$＞$\frac{1200}{37}$，
即x＜y，
∴方案乙剪出的正方形面積較大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的應(yīng)用：常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，然后利用三角形相似的性質(zhì)求相應(yīng)線段的長(zhǎng)．