Question

6．如圖，將一塊三角板放在平面直角坐標(biāo)系中，已知∠AOB=30°，∠ABO=90°，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象經(jīng)過(guò)A，B，O三點(diǎn)，試確定此二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）中的二次函數(shù)圖象的OB段（不包括點(diǎn)O，B）上，是否存在一點(diǎn)C，使得△OBC的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△OAB中，由∠AOB=30°可以得到OB=$\sqrt{3}$，過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于x軸，垂足為D，利用已知條件可以求出OD、BD，也就求出B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法把A，B，O三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中就可以求出解析式；
（3）設(shè)存在點(diǎn)C（x，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x），過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點(diǎn)F，則S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF，而|CF|=y_C-y_F=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\sqrt{3}$x，這樣可以得到S_△OBC=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x，利用二次函數(shù)就可以求出△OBC面積最大值，也可以求出C的坐標(biāo)．

解答 解：（1）在Rt△OAB中，
∵∠AOB=30°，
∴OB=$\sqrt{3}$，
過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于x軸，垂足為D，
則OD=$\sqrt{3}$cos30°=$\frac{3}{2}$，BD=$\frac{1}{2}$BO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；

（2）將A（2，0）、B（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）、O（0，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+c=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解方程組得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$．
故所求二次函數(shù)解析式是y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x；

（3）設(shè)存在點(diǎn)C（x，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x）（其中0＜x＜$\frac{3}{2}$），
過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點(diǎn)F，
則S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=$\frac{1}{2}$|CF|•|OE|+$\frac{1}{2}$|CF|•|ED|=$\frac{1}{2}$|CF|•|OD|=$\frac{3}{4}$|CF|，
而|CF|=y_C-y_F=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\sqrt{3}$x，
∴S_△OBC=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{9\sqrt{3}}{32}$，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{4}$時(shí)，△OBC面積最大，最大面積為$\frac{9\sqrt{3}}{32}$．
此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{4}$，$\frac{5\sqrt{3}}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最大值等知識(shí)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．