Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2m，m），翻折矩形OABC，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，得到折痕DE，設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，折痕DE所在直線(xiàn)與y軸相交于點(diǎn)G，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，F(xiàn)，D的拋物線(xiàn)為y=ax²+bx+c．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；
（2）若點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，-3），求該拋物線(xiàn)的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)線(xiàn)段CD的中點(diǎn)為M，在線(xiàn)段CD上方的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使PM=$\frac{1}{2}$EA？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)得出CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，設(shè)CD=x，則DF=DB=2m-x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出結(jié)果；
（2）證明△OEG∽△CDG，得出比例式，求出m的值，得出C、D的坐標(biāo)，作FH⊥CD于H，證明△FCH∽△DCF，得出比例式求出F的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式；
（3）由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)得出MF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$EA，點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得另一點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得：CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，∠CED=∠AED，
設(shè)CD=x，則DF=DB=2m-x，
根據(jù)勾股定理得：CF²+DF²=CD²，
即m²+（2m-x）²=x²，
解得：x=$\frac{5}{4}$m，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（$\frac{5}{4}$m，m）；
（2）方法一：
∵四邊形OABC是矩形，
∴OA=2m，OA∥BC，
∴∠CDE=∠AED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD=$\frac{5}{4}$m，
∴AE=CE=$\frac{5}{4}$m，
∴OE=OA-AE=$\frac{3}{4}$m，
∵OA∥BC，
∴△OEG∽△CDG，
∴$\frac{OE}{CD}=\frac{OG}{CG}$，
即$\frac{\frac{3}{4}m}{\frac{5}{4}m}=\frac{3}{3+m}$，
解得：m=2，
∴C（0，2），D（$\frac{5}{2}$，2），
作FH⊥CD于H，如圖1所示：
則∠FHC=90°=∠DFC，
∵∠FCH=∠FCD，
∴△FCH∽△DCF，
∴$\frac{FH}{DF}=\frac{CH}{CF}=\frac{CF}{CD}$=$\frac{2}{\frac{5}{2}}$=$\frac{4}{5}$，
即$\frac{FH}{\frac{3}{2}}=\frac{CH}{2}=\frac{2}{\frac{5}{2}}$，
∴FH=$\frac{6}{5}$，CH=$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$+2=$\frac{16}{5}$，
∴F（$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），
把點(diǎn)C（0，2），D（$\frac{5}{2}$，2），F(xiàn)（$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$）代入y=ax²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}&{\;}\\{\frac{25}{4}a+\frac{5}{2}b+2=2}&{\;}\\{\frac{64}{25}a+\frac{8}{5}b+c=\frac{16}{5}}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{5}{6}$，b=$\frac{25}{12}$，c=2，
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{25}{12}$x+2；
方法二：
由（1）得，A（2m，0），C（0，m），D（$\frac{5}{4}$m，m），G（0，-3），
根據(jù)折疊的性質(zhì)：AC⊥DG，∴K_AC×K_DG=-1，
∴$\frac{m}{-2m}×\frac{m+3}{\frac{5}{4}m}=-1$，
∴m=2，C（0，2），D（$\frac{5}{2}$，2），
作FH⊥CD于H，則∠FHC=∠DFC=90°，
∵∠FCH=∠FCD，
∴△FCH∽△DCF，
∴$\frac{FH}{DF}=\frac{CH}{CF}=\frac{CF}{CD}=\frac{2}{\frac{5}{2}}=\frac{4}{5}$，即$\frac{FH}{\frac{3}{2}}=\frac{CH}{2}=\frac{4}{5}$，
∴FH=$\frac{6}{5}$，CH=$\frac{8}{5}$，∴F（$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），
∵拋物線(xiàn)：y=ax²+bx+c，
∴（$\frac{8}{5}$）²a+$\frac{8}{5}$b+c=$\frac{16}{5}$，（$\frac{5}{2}$）²a+$\frac{5}{2}$b+c=2，c=2，
∴a=-$\frac{5}{6}$，b=$\frac{25}{12}$，c=2，
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{25}{12}$x+2．

（3）存在；點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），或（$\frac{9}{10}$，$\frac{16}{5}$）；理由如下：
如圖2所示：∵CD=CE，CE=EA，
∴CD=EA，
∵線(xiàn)段CD的中點(diǎn)為M，∠DFC=90°，
∴MF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$EA，點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$）；
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得另一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{9}{10}$，$\frac{16}{5}$）；
∴在線(xiàn)段CD上方的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使PM=$\frac{1}{2}$EA，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），或（$\frac{9}{10}$，$\frac{16}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（2）中，需要作輔助線(xiàn)兩次證明三角形相似才能得出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)求出拋物線(xiàn)的解析式．