Question

9．在直角坐標(biāo)系中，A（0，3），B（4，0），C（4，5.5）
（1）求△ABC的面積；
（2）如果在第二象限內(nèi)有一點P（a，$\frac{1}{2}$），使用含a的代數(shù)式表示四邊形ABOP的面積；
（3）若點Q的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，是否存在點Q使△AOQ的面積與△ABC的面積相等？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先在坐標(biāo)系中描出點A、B、C，然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（2）根據(jù)三角形面積公式和S_{四邊形ABOP}=S_△AOB+S_△PAO進行求解；
（3）設(shè)Q（x，-$\frac{1}{2}$），利用S_△AOQ=S_△ABC得到$\frac{1}{2}$•3•|x|=11，然后解絕對值方程求出x的值即可得到Q點的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×5.5×4=11；
（2）如圖，
S_{四邊形ABOP}=S_△AOB+S_△PAO
=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×3×（-a）
=6-$\frac{3}{2}$a；
（3）存在．
設(shè)Q（x，-$\frac{1}{2}$），
∵S_△AOQ=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•3•|x|=11，解得x=$\frac{22}{3}$或-$\frac{22}{3}$，
∴點Q的坐標(biāo)為（$\frac{22}{3}$，-$\frac{1}{2}$）或（-$\frac{22}{3}$，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點的坐標(biāo)計算相應(yīng)線段的長和判斷線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系．也考查了三角形面積公式．