Question

19．某水庫(kù)大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中AB∥CD，大壩頂上有一瞭望臺(tái)PC，PC正前方有兩艘漁船M，N．觀察員在瞭望臺(tái)頂端P處觀測(cè)到漁船M的俯角α為31°，漁船N的俯角β為45°．已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為E，且PE長(zhǎng)為30米．
（1）求兩漁船M，N之間的距離（結(jié)果精確到1米）；
（2）已知壩高24米，壩長(zhǎng)100米，背水坡AD的坡度i=1：0.25，為提高大壩防洪能力，請(qǐng)施工隊(duì)將大壩的背水坡通過(guò)填筑土石方進(jìn)行加固，壩底BA加寬后變?yōu)锽H，加固后背水坡DH的坡度i=1：1.75，施工隊(duì)施工10天后，為盡快完成加固任務(wù)，施工隊(duì)增加了機(jī)械設(shè)備，工作效率提高到原來(lái)的2倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前20天完成加固任務(wù)，施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方多少立方米？
（參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）

Answer 1

分析 （1）在直角△PEN，利用三角函數(shù)即可求得ME的長(zhǎng)，根據(jù)MN=EM-EN求解；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AH于點(diǎn)N，利用三角函數(shù)求得AN和AH的長(zhǎng)，進(jìn)而求得△ADH的面積，得到需要填筑的土石方數(shù)，再根據(jù)結(jié)果比原計(jì)劃提前20天完成，列方程求解．

解答 解：（1）在直角△PEN中，∠PNE=45°，
∴EN=PE=30m，
在Rt△PME中，∠PME=31°，
∴ME=$\frac{PE}{tan31°}$=50（m），
則MN=EM-EN=20（m）．
答：兩漁船M、N之間的距離是20米；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥AH于點(diǎn)Q．
由題意得：tan∠DAB=4，tanH=$\frac{4}{7}$，
在直角△DAQ中，AQ=$\frac{DQ}{tan∠DAB}$=$\frac{24}{4}$=6（m），
在直角△DHQ中，HQ=$\frac{DQ}{tanH}$=$\frac{24}{\frac{4}{7}}$=42（m）．
故AH=HQ-AQ=42-6=36（m）．
S_△ADH=$\frac{1}{2}$AH•DQ=432（m²）．
故需要填筑的土石方是V=SL=432×100=43200（m³）．
設(shè)原計(jì)劃平均每天填筑xm³，則原計(jì)劃$\frac{43200}{x}$天完成，則增加機(jī)械設(shè)備后，現(xiàn)在平均每天填筑2xm³．
根據(jù)題意，得：10x+（$\frac{43200}{x}-10-20$）•2x=43200，
解得：x=864．
經(jīng)檢驗(yàn)x=864是原方程的解．
答：施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方864立方米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了仰角的定義以及坡度，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．