Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為AP的中點(diǎn)，連結(jié)AC．
求證：（1）∠P=∠BAC
（2）直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）要證明∠P=∠BAC，只要證明∠CAP+∠BAC=∠P+∠CAP即可，根據(jù)題目中的條件可以證明它們相等，從而可以解答本題；
（2）要證明直線CD是⊙O的切線，只要證明∠OCD=90°即可，根據(jù)題目中的條件和（1）中的結(jié)論可以證明∠OCD=90°，從而可以解答本題．

解答 證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACP=90°，
∴∠P+∠CAP=90°，
∵AP⊙O是切線，
∴∠BAP=90°，
即∠CAP+∠BAC=90°
∴∠P=∠BAC；        

（2）∵CD是Rt△PAC斜邊PA的中線，
∴CD=AD，
∴∠DCA=∠DAC，
連接OC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DCO=∠DAO=90°，
∴CD是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．