Question

6．如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是$\widehat{CAD}$上一點(diǎn)（不與C、D重合），試判斷∠CPD與∠COB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）點(diǎn)P′在劣弧$\widehat{CD}$上（不與C、D重合時(shí)），∠CP′D與∠COB有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)圓周角定理得到∠CPD=$\frac{1}{2}$∠COD，根據(jù)垂徑定理得到$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，得到∠BOC=∠BOD，等量代換即可；
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)解答即可．

解答 解：（1）∠CPD=∠COB．
理由如下：連接OD，
由圓周角定理得，∠CPD=$\frac{1}{2}$∠COD，
∵AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BOC=∠BOD=$\frac{1}{2}$∠COD，
∴∠CPD=∠COB．
（2）∵四邊形PCP′D是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠CP′D+∠CPD=180°，
∴∠CP′D+∠COB=180°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理、圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解題的關(guān)鍵．