Question

16．如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠B=45°，AC=5，BC=4$\sqrt{2}$．
①AB的長(zhǎng)為4+$\sqrt{2}$；
②若E是AB邊上一點(diǎn)，將△BEC沿EC所在直線翻折得到△DEC，DC交AB于F，當(dāng)DE∥AC時(shí)，tan∠BCD的值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 ①如圖作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，由∠AMB=90°，∠B=45°，推出BM=AM，AB=$\sqrt{2}$AM，設(shè)AM=BM=x，在Rt△AMC中，根據(jù)AC²=AM²+CM²，
可得方程5²=x²+（4$\sqrt{2}$-x）²，求出x即可解決問(wèn)題．
②如圖作FN⊥BC于N．由△ACF∽△ABC，得到AC²=AF•AB，推出AF=$\frac{25}{7}$，BF=AB-AF=$\frac{24}{7}$，求出FN、CN，根據(jù)tan∠BCD=$\frac{FN}{CN}$計(jì)算即可．

解答 解：①如圖作AM⊥BC于M．
在Rt△ABM中，∵∠AMB=90°，∠B=45°，
∴BM=AM，AB=$\sqrt{2}$AM，設(shè)AM=BM=x，
在Rt△AMC中，∵AC²=AM²+CM²，
∴5²=x²+（4$\sqrt{2}$-x）²，
解得x=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍棄），
∴AB=$\sqrt{2}$x=7，
故答案為7．

②如圖作FN⊥BC于N．
∵DE∥AC，
∴∠ACF=∠D=∠B，∵∠CAF=∠CAB，
∴△ACF∽△ABC，
∴AC²=AF•AB，
∴AF=$\frac{25}{7}$，
∴BF=AB-AF=7-$\frac{25}{7}$=$\frac{24}{7}$，
∴BN=FN=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
∴CN=BC-BN=4$\sqrt{2}$-$\frac{12\sqrt{2}}{7}$=$\frac{16\sqrt{2}}{7}$，
∴tan∠BCD=$\frac{FN}{CN}$=$\frac{\frac{12\sqrt{2}}{7}}{\frac{16\sqrt{2}}{7}}$=$\frac{3}{4}$，
故答案為$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折變換，解直角三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．