Question

13．【探究】
已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，四邊形CDEF為正方形，BD、AF交于點G．
（1）若△ABC與正方形CDEF的位置如圖1所示，試猜想BD、AF的位置關(guān)系，請直接寫出結(jié)論：BD⊥AF；
（2）若將正方形CDEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由．
【拓展】
如圖3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=5，四邊形CDEF為矩形，CD=1，CF=$\sqrt{3}$，若將矩形CDEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到圖4所示的位置，連接BD，AF交于點G，若∠DBC=15°，求AG的值．

Answer 1

分析 （1）由△BCD≌△ACF，推出∠DBC=∠CAF，由∠BDC+∠DBC=90°，∠BDC=∠ADG，推出∠DAG+∠ADG=90°，推出∠AGD=90°；
（2）結(jié)論仍然成立．由△BCD≌△ACF，推出∠DBC=∠CAF，由∠BOC+∠DBC=90°，∠BOC=∠AOG，推出∠OAG+∠AOG=90°，即可證明；
（3）由△BCD∽△ACF，推出∠DBC=∠CAF，由∠BOC+∠DBC=90°，∠BOC=∠AOG，推出∠OAG+∠AOG=90°，推出∠AGO=90°，BD⊥AF，由∠ABC=60°，∠GBC=15°，推出∠ABD=45°，推出△ABG是等腰直角三角形，即可解決問題；

解答 解：（1）結(jié)論：BD⊥AF．

理由：在△BCD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠BCD=∠ACF}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACF，
∴∠DBC=∠CAF，
∵∠BDC+∠DBC=90°，∠BDC=∠ADG，
∴∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠AGD=90°，
∴BD⊥AF．
故答案為BD⊥AF．

（2）結(jié)論仍然成立．
理由：如圖2中，設(shè)AC與BD交于點O．

∵∠BCA=∠DCF=90°，
∴∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠BCD=∠ACF}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACF，
∴∠DBC=∠CAF，
∵∠BOC+∠DBC=90°，∠BOC=∠AOG，
∴∠OAG+∠AOG=90°，
∴∠AGO=90°，
∴BD⊥AF．

（3）如圖4中，設(shè)AC與BD交于點O．

∵∠BCA=∠DCF=90°，
∴∠BCD=∠ACF，
∵$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DC}{CF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴△BCD∽△ACF，
∴∴∠DBC=∠CAF，
∵∠BOC+∠DBC=90°，∠BOC=∠AOG，
∴∠OAG+∠AOG=90°，
∴∠AGO=90°，
∴BD⊥AF，
∵∠ABC=60°，∠GBC=15°，
∴∠ABD=45°，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．