Question

4．如圖，AB為⊙O的直徑，CD切⊙O于點(diǎn)C，與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連接CA、CE、CB，CE交AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)P．
（Ⅰ）求∠CPA的度數(shù)；
（Ⅱ）連接OF，若AC=$\sqrt{3}$，∠D=30°，求線(xiàn)段OF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AE，由OA=OB且OE⊥AB知∠OEG+∠AEC=45°，再證∠OEG=∠BAP、∠AEC=∠ABP，在△ABP中利用三角形外角性質(zhì)可得答案；
（Ⅱ）由切線(xiàn)性質(zhì)及∠D=30°可得∠AOC=∠OAC=60°，在Rt△ABC中求得BC=3，由∠APC=45°、∠ACP=90°得CP=AC=$\sqrt{3}$，可知BP=3-$\sqrt{3}$，證OF為△ABP中位線(xiàn)可得答案．

解答 解：（Ⅰ）如圖，連接AE，

∵OE⊥AB，OA=OE，
∴∠AOE=90°，∠AEO=45°，
∴∠OEG+∠OGE=90°，
∵AF⊥CE，
∴∠AFG=90°，
∴∠FAG+∠AGF=90°，
∵∠AGF=∠OGE，
∴∠OEG=∠BAP，
∵∠AEC=∠ABC，
∴∠APC=∠ABC+∠BAP=∠AEC+∠OEG=∠AEO=45°；

（Ⅱ）連接OC，
∵CD是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=60°，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{3}$，
∴BC=ACtan∠BAC=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3，
由（1）知，AC=CP=$\sqrt{3}$，
∴BP=BC-CP=3-$\sqrt{3}$，
∵AF⊥CE，
∴AF=PF，
∵OA=OB，
∴OF=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角定理及解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A的切線(xiàn)的性質(zhì)及圓周角定理、三角形外角的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．