Question

6．函數(shù)y=ax+6（其中a，b是整數(shù)）的圖象與三條拋物線y=x²+3，y=x²+6x+7，y=x²+4x+5分別有2、l、0個交點，則（a，b）=（2，3）．

Answer 1

分析 把直線解析式與拋物線的解析式聯(lián)立得到關于x的一元二次方程，然后利用根與系數(shù)的關系分別列式得到關于a、b的不等式與方程，把方程變形可得4b=-（a²-12a+8），分別代入不等式組成關于a的不等式組，求解得到a的取值范圍，再根據(jù)a、b是整數(shù)求出a、b的值．

解答 解：根據(jù)題意得，x²+3=ax+b，x²+6x+7=ax+b，x²+4x+5=ax+b，
∵直線與三條拋物線的交點的個數(shù)分別是2，1，0，
∴△₁=a²-4×1×（3-b）=a²+4b-12＞0①，
△₂=（6-a）²-4×1×（7-b）=a²-12a+4b+8=0②，
△₃=（4-a）²-4×1×（5-b）=a²-8a+4b-4＜0③，
由②得，4b=-（a²-12a+8）④，
④分別代入①、③得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-（{a}^{2}-12a+8）-12＞0}\\{{a}^{2}-8a-4-（{a}^{2}-12a+8）-4＜0}\end{array}\right.$，
整理得 $\left\{\begin{array}{l}{12a＞20}\\{4a＜12}\end{array}\right.$，
解得 $\frac{5}{3}$＜a＜3，
∵a是整數(shù)，
∴a=2，
∴4b=-（2²-12×2+8）=12，
解得b=3，
故答案為（2，3）．

點評 本題綜合考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根與系數(shù)的關系，非負數(shù)的性質(zhì)；根據(jù)題意得出三個式子是解題的關鍵．