Question

1．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，以AB和AC為邊在Rt△ABC外作等邊△ABD和△ACE，求證：DH⊥HE．

Answer 1

分析 首先根據(jù)∠BAC=90°，AH⊥BC于H，判斷出∠ABH=∠CAH，進(jìn)而判斷出∠DBH=∠EAH；然后根據(jù)相似三角形的判定方法，判斷出△ABH∽△CAH，即可判斷出$\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{AH}$，再根據(jù)AB=BD，AH=AE，判斷出$\frac{BD}{AE}=\frac{BH}{AH}$，據(jù)此判斷出△BDH∽△AEH，推得∠BHD=∠AHE；最后判斷出∠DHE=90°，即可判斷出DH⊥HE．

解答 解：∵∠BAC=90°，
∴∠BAH+∠CAH=90°，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠ABH=∠CAH，
又∵∠DBH=∠ABH+60°，∠EAH=∠CAH+60°，
∴∠DBH=∠EAH，
在△ABH和△CAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABH=∠CAH}\\{∠AHB=∠CHA}\end{array}\right.$，
∴△ABH∽△CAH，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{AH}$，
又∵AB=BD，AH=AE，
∴$\frac{BD}{AE}=\frac{BH}{AH}$，
在△BDH和△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{BD}{AE}=\frac{BH}{AH}}\\{∠DBH=∠EAH}\end{array}\right.$
∴△BDH∽△AEH，
∴∠BHD=∠AHE，
∵∠BHD+AHD=90°，
∴∠AHE+AHD=90°，
即∠DHE=90°，
∴DH⊥HE．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要熟練掌握相似三角形的判定方法．
（2）此題還考查了等邊三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①等邊三角形的內(nèi)角都相等，且為60度；②等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對(duì)角的平分線互相重合．③等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，對(duì)稱軸是每條邊上的中線、高或所對(duì)角的平分線所在的直線．